Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2

2

，M為CE的中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)．
（1）求證：平面BMN∥平面ADEF；
（2）求證：平面BCE⊥平面BDE；
（3）求點(diǎn)D到平面BEC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由MN∥ED，得MN∥平面ADEF，得平面BMN∥平面ADEF；
（2）由題意得ED⊥BC，得BC⊥BD，從而得BC⊥平面BDE．進(jìn)而平面BCE⊥平面BDE，
（3）設(shè)點(diǎn)D到平面BEC的距離為h，轉(zhuǎn)化為V_D-BEC=V_E-BCD，從而求出h的值．

解答： （1）證明：在△EDC中，M，N分別為EC，DC的中點(diǎn)，
所以MN∥ED，又DE?平面ADEF，且MN?平面ADEF，
所以MN∥平面ADEF；
因?yàn)镹為CD中點(diǎn)，AB∥CD，AB=2，CD=4，
所以四邊形ABND為平行四邊形，所以BN∥DA，
又DA?平面ADEF，且BN?平面ADEF，
所以BN∥平面ADEF，
∵BN∩MN=N，EN，MN?面BMN，
∴平面BMN∥平面ADEF；
（2）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD．又
因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

．
在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，因?yàn)锽D²+BC²=CD²，
所以BC⊥BD．
因?yàn)锽D∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．
因?yàn)锽C?面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE，
（3）設(shè)點(diǎn)D到平面BEC的距離為h，
則V_D-BEC=V_E-BCD，
求得h=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面平行，面面垂直的判定，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．