Question

對(duì)n∈N*，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，D_n內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成點(diǎn)列．（x₁，y₁）（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）
（1）求x_n，y_n；
（2）數(shù)列{a_n}滿足a₁=x₁，且n≥2時(shí)．證明當(dāng)n≥2時(shí)，；

Answer 1

【答案】分析：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，x=1．故D_n內(nèi)的整點(diǎn)都落在直線x=1上，且y≤n，故D_n內(nèi)的整點(diǎn)按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成的點(diǎn)列為（1，1），（1，2），…，（1，n），故x_n=1，y_n=n．
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，由，，得，再由錯(cuò)位相減法可知當(dāng)n≥2時(shí)，．
解答：解：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，∵x＞0，且x∈N^*，∴x=1．
故D_n內(nèi)的整點(diǎn)都落在直線x=1上，且y≤n，
故D_n內(nèi)的整點(diǎn)按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成的點(diǎn)列為（1，1），（1，2），…，（1，n），
∴x_n=1，y_n=n．

（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，
由，
得，
即  …①
∴  …②
②式減①式，得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意公式的靈活運(yùn)用．