Question

【題目】如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E是棱PD的中點，點F是PC的中點．

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）若底面ABCD為正方形，，求二面角C—AF—D大小．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)60°.

【解析】試題分析：(1)要證線面平行，即證線線平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，

試題解析：

（Ⅰ）連接BD，設(shè)AC∩BD＝O，連結(jié)OE，

∵四邊形ABCD為矩形，∴O是BD的中點，

∵點E是棱PD的中點，∴PB∥EO，

又PB平面AEC，EO平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（Ⅱ）由題可知AB，AD，AP兩兩垂直，則分別以、、的方向為坐標(biāo)軸方向建立空間直角坐標(biāo)系．明確平面DAF的一個法向量為，利用二面角公式求角.

設(shè)由可得AP＝AB，

于是可令A(yù)P＝AB＝AD＝2，則

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（1，1，1）

設(shè)平面CAF的一個法向量為．由于，

所以，解得x＝－1，所以．

因為y軸平面DAF，所以可設(shè)平面DAF的一個法向量為．

由于，所以，解得z＝－1，

所以．

故．所以二面角C—AF—D的大小為60°．