Question

已知a∈R，函數(shù)，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值；
（2）將曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直轉(zhuǎn)化成方程g'（x）=0有實(shí)數(shù)解，只需研究導(dǎo)函數(shù)的最小值即可．
解答：解：（1）∵，
∴
令f'（x）=0，得x=a．
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)最小值．
②若0＜a＜e，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（a，e]時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值lna
③若a≥e，則f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值．
．綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上無(wú)最小值；
當(dāng)0＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為lna；
當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）^′e^x+（lnx-1）（e^x）^′+1=．
由（1）可知，當(dāng)a=1時(shí)，．
此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值為ln1=0，即．（10分）
當(dāng)x∈（0，e]，，，
∴．
曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g'（x）=0有實(shí)數(shù)解．（13分）
而g'（x）＞0，即方程g'（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)解．、故不存在x∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于中檔題．