Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=

x2+ax+a

x

（x≠0），下列說法正確的是

 

．
①函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x=±

a

；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-2

a

+a]∪[2

a

+a，+∞）；
③當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)；
④函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是a＞4或a＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取a=0即可判斷①②錯(cuò)誤；分a≤0和a＞0分別研究函數(shù)的單調(diào)性判斷③正確；由a＜0分析原函數(shù)的圖象的大致情況，由a＞0求使函數(shù)在x＜0時(shí)的最大值大于0求解a的范圍判斷④．

解答： 解：f（x）=

x2+ax+a

x

=x+

a

x

+a，
f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．
若a=0，則f′（x）=1＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上為增函數(shù)，不存在極值點(diǎn)，命題①錯(cuò)誤；
若a=0，函數(shù)f（x）=x（x≠0），值域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），命題②錯(cuò)誤；
由f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）≥0，得x≤-

a

或x≥

a

．
若a≤1，則函數(shù)f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，命題③正確；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上為增函數(shù)，
又當(dāng)x小于0且無限趨于0時(shí)，x+

a

x

+a＞0，當(dāng)x大于0且無限趨于0時(shí)，x+

a

x

+a＜0，
∴a＜0時(shí)函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)a＞0時(shí)，由y=x+

a

x

+a在x＜0時(shí)的最大值a-2

a

＞0，解得：a＞4．
∴函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是a＞4或a＜0．
∴正確的命題是③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了學(xué)生的邏輯思維能力，是中檔題．