Question

【題目】如圖所示，DC⊥平面BCEF，且四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2．

（1）求證：AF∥平面CDE；
（2）求平面AEF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

則C（0，0，0），B（2，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），A（2，0，4），F(xiàn)（2，2，0），

則 =（0，2，﹣4）， =（2，0，0）．

=（2，0，0）為平面CDE的一個(gè)法向量．

又 =0，AF平面CDE，

∴AF∥平面CDE．

（2）解：設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為 =（x1，y1，z1），則 ，

∵ ，

∴ ，取z1=1，得 ．

又∵CE⊥平面ABCD，∴平面ABCD一個(gè)法向量為 ，

設(shè)平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的大小為α，

則

因此，平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能證明AF∥平面CDE．（2）求出平面AEF的一個(gè)法向量和平面ABCD一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面ADE與平面BCEF所成銳二面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．