Question

已知2013年2月10日春節(jié)．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黃瓜進(jìn)入市場銷售，通過市場調(diào)查，預(yù)測黃瓜的價(jià)格f（x）（單位：元/kg）與時(shí)間x（x表示距2月10日的天數(shù)，單位：天，x∈（0，8]）的數(shù)據(jù)如下

時(shí)間x	8	6	2
價(jià)格f（x）	8	4	20

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述黃瓜價(jià)格f（x）與上市時(shí)間x的變化關(guān)系：f（x）=ax+b，f（x）=ax²+bx+c，f（x）=a•b^x，f（x）=a•log_bx，其中a≠0；并求出此函數(shù)；
（Ⅱ）為了控制黃瓜的價(jià)格，不使黃瓜的價(jià)格過于偏高，經(jīng)過市場調(diào)研，引入一控制函數(shù)h（x）=e^x-（12-2m）x+39（x＞0），m稱為控制系數(shù)．求證：當(dāng)m＞ln2-1時(shí)，總有f（x）＜h（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，表述黃瓜價(jià)格f（x）與上市時(shí)間x的變化關(guān)系的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，在a≠0的前提下，可選取二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c進(jìn)行描述．把表格提供的三對(duì)數(shù)據(jù)代入上式解出a，b，c即可；
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： （Ⅰ）解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，表述黃瓜價(jià)格f（x）與上市時(shí)間x的變化關(guān)系的函數(shù)決不是單調(diào)函數(shù)，這與函數(shù)f（x）=ax+b，f（x）=a•b^x，f（x）=a•log_bx均具有單調(diào)性不符，所以，在a≠0的前提下，可選取二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c進(jìn)行描述．      …（1分）
把表格的三對(duì)數(shù)據(jù)代入該解析式得到：

64a+8b+c=8 36a+6b+c=4 4a+2b+c=20

得a=1，b=-12，c=40…（3分）
所以，黃瓜價(jià)格f（x）與上市時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系是f（x）=x²-12x+40．x∈（0，8]…（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)函數(shù)g（x）=h（x）-f（x）=e^x-x²+2mx-1，求導(dǎo)，結(jié)果見下表．
g'（x）=e^x-2x+2m，繼續(xù)對(duì)g'（x）求導(dǎo)得g''（x）=e^x-2…（6分）
表格如下：…（8分）

	（0，ln2）	Ln2	（ln2，+∞）
gn（x）	-	0	+
g'（x）	減	極小值	增

由上表可知g'（x）≥g'（ln2），而g'（ln2）=e^ln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1），由m＞ln2-1知g'（ln2）＞0，所以g'（x）＞0，即g（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)．       …（10分）
于是有g(shù)（x）＞g（0），而g（0）=e⁰-0²+2m×0-1=0，…（11分）
故g（x）＞0，即當(dāng)m＞ln2-1且x＞0時(shí)，e^x＞x²-2mx+1．即h（x）＞f（x）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了選擇函數(shù)模型解決實(shí)際問題、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．