Question

3．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|（a＞0）．
（1）不等式f（x）≤1在[0，n]上恒成立，當(dāng)n取得最大值時(shí)，求a的值；
（2）在（1）的條件下．若對(duì)于任意的x∈R，不等式f（x+t）≥f（x）-t（t＞0）恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\frac{{a}^{2}}{4}$=1，結(jié)合a＞0，即可得出結(jié)論；
（2）a＞0，f（x）的圖象如圖所示，由圖可得，若對(duì)于任意的x∈R，不等式f（x+t）≥f（x）-t（t＞0）恒成立，則f（$\frac{a}{2}$）=f（1）-t≤0，即可求出t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，$\frac{{a}^{2}}{4}$=1，
∵a＞0，
∴a=2；
（2）a＞0，f（x）的圖象如圖所示，由圖可得，若對(duì)于任意的x∈R，不等式f（x+t）≥f（x）-t（t＞0）恒成立，則f（$\frac{a}{2}$）=f（1）-t≤0，
∴1-t≤0，∴t≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．