Question

)設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù)．

(1)求的值；

(2)判斷在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的判斷正確；

(3)若對(duì)于區(qū)間 [3,4]上的每一個(gè)的值，不等式>恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）在（1，+∞）上是增函數(shù)（3）

【解析】

試題分析：解：（1）∵為奇函數(shù)，

∴對(duì)于定義域中任意實(shí)數(shù)恒成立，

即    2分

∴ ∴ ∴

∴對(duì)于定義域中任意實(shí)數(shù)恒成立

∵不恒為0，∴ ∴   4分

當(dāng)時(shí)不符題意

∴   5分

（2）由（1）得

設(shè)1＜x₁＜x₂，則

f（x₁）－f（x₂）＝log－log＝log

＝log  7分

∵  1＜x₁＜x₂，∴  x₂－x₁＞0，

∴ （x₁x₂－1）＋（x₂－x₁）＞（x₁x₂－1）－（x₂－x₁）>0

即>1．   9分

∴ f（x₁）－f（x₂）<0即f（x₁）＜f（x₂），在（1，+∞）上是增函數(shù)  10分

（3）由(1),不等式>可化為，即

由題意得對(duì)于區(qū)間[3,4]上的每一個(gè)的值，恒成立  2分

令，則區(qū)間[3,4]上為增函數(shù)

∵   ∴  15分

考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的靈活運(yùn)用，以及利用分離參數(shù)的思想求解函數(shù)的最值得到范圍。屬于中檔題。