Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），且f（0）≠0，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，且對任意a，b∈R，f（a+b）=f（a）f（b）． 下列說法正確的是______（只填序號）．
（1）f（0）=1；
（2）對任意x∈R，有f（x）＞0；
（3）f（x）在R上是增函數(shù)；
（4）f（x）是R上的減函數(shù)．

Answer 1

解：（1）令a=b=0，則f（0+0）=f（0）f（0），即f（0）=[f（0）]²，
又f（0）≠0，所以f（0）=1，故（1）正確；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，所以f（-x）＞1，
則f（x-x）=f（x）f（-x），即f（0）=f（x）f（-x），
所以f（x）=，
又f（-x）＞1，所以0＜f（x）＜1，
因?yàn)閤＞0時，f（x）＞1，f（0）=1，
所以對任意x∈R，有f（x）＞0，故（2）正確；
（3）設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]
=f（x₁）-f（x₁）f（x₂-x₁）=f（x₁）[1-f（x₂-x₁）]，
由（2）知，f（x₁）＞0，
由x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，所以f（x₂-x₁）＞1，
所以1-f（x₂-x₁）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）為R上的增函數(shù)，故（3）正確；
由（3）知，（4）錯誤；
故答案為：（1）（2）（3）．
分析：（1）令a=b=0，代入f（a+b）=f（a）f（b）即可求得；
（2）只需證明x＜0時f（x）＞0，令a=x，b=-x，代入f（a+b）=f（a）f（b）可得f（x）=，由f（-x）范圍可得f（x）范圍；
（3）定義法：設(shè)x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f[x₁+（x₂-x₁）]，利用已知進(jìn)行變形，由已知易判斷差的符號；
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷、單調(diào)性的證明，屬中檔題，抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性往往運(yùn)用定義解決．