Question

已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；
（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；
（Ⅱ）設(shè)，問(wèn)是否存在，使得，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅲ）記函數(shù)，若函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)可得，由，可得得或，而在處有極大值，從而可得a；（2）假設(shè)存在，即存在x∈(?1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(?1，)，及a＞0，可得x-a＜0，則存在x∈(?1，)，使得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）據(jù)題意有f（x）-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根，g（x）-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足⇒a＞1或a＜?3；有3個(gè)不同的實(shí)根，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.
試題解析：（Ⅰ），則，
令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或．               （3分）
（Ⅱ）假設(shè)存在，即存在，使得
，
當(dāng)時(shí)，又，故，則存在，使得， （4分）
當(dāng)即時(shí)，得，；      （5分）
當(dāng)即時(shí)，得，  （6分）
無(wú)解；綜上：．                                   （7分）
（Ⅲ）據(jù)題意有有3個(gè)不同的實(shí)根，有2個(gè)不同的實(shí)根，且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
（ⅰ）有2個(gè)不同的實(shí)根，只需滿足；   （8分）
（ⅱ）有3個(gè)不同的實(shí)根，
當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；    （9分）
當(dāng)即時(shí)，不符合題意，舍；
當(dāng)即時(shí)，在處取得極大值，；所以；  （10分）
因?yàn)椋á。�（ⅱ）要同時(shí)滿足，故；（注：也對(duì)）      （11分）
下證：這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時(shí)成立；
若存在使得，
由，即，得，
當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；
當(dāng)時(shí)，既有  ①；
又由，即 ②；   聯(lián)立①②式，可得；
而當(dāng)時(shí)，沒(méi)有5個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去，所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等．
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)．          （14分）