Question

已知拋物線x²=8（y+8）與y軸交點為M，動點P，Q在拋物線上滑動，且

MP

•

MQ

=0
（1）求PQ中點R的軌跡方程W；
（2）點A，B，C，D在W上，A，D關(guān)于y軸對稱，過點D作切線l，且BC與l平行，點D到AB，AC的距離為d₁，d₂，且d₁+d₂=

2

|AD|，若△ABC的面積S=48，求點A的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運算,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)為k，設(shè)PQ的中點R（x，y），求出P，Q的坐標，繼而得到PQ中點R的軌跡方程W．
（2）利用點A的坐標表示弦長|AC|、|AB|，進而利用面積即可得出坐標，

解答： 解：（1）顯然直線MP的斜率存在且不為0，設(shè)為k，設(shè)PQ的中點R（x，y），
∴直線MP：y=kx-8與x²=8（y+8）聯(lián)立解得：P（8k，8k²-8），
同理：Q（-

8

k

，

8

k2

-8），
∴PQ的中點R（4k-

4

k

，4k²+

4

k2

-8），
∴

x=4k- 4 k y=4k2+ 4 k2 -8

  
∴軌跡方程：x²=4y，
（2）由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
設(shè)D（x₀，

1

4

x02），C（x₁，

1

4

x12），B（x₂，

1

4

x22）則A（（-x₀，

1

4

x02），
∴K_BC=

1

4

（ x₁+x₂）=

1

2

x₀，
∴x₁+x₂=2x₀，
∴k_AC=

1

4

（x₁-x₀）
又K_AB=

1

4

（x₀-x₁）
∴k_AC=-k_AB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴d₁=d₂，
又d₁+d₂=

2

AD得sin∠DAC=

2

2

，
∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．
設(shè)AB：y-

1

4

x02=-（x+x₀），與拋物線聯(lián)立得：B（ x₀-4，

1

4

（x₀-4）²）
同理：C（ x₀+4，

1

4

（x₀+4）²）
∴|AB|=

2

|x₀-4-（-x₀）|=

2

|2x₀-4|，
同理：|AC|=

2

|2x₀+4|，
∴S_△ABC=

1

2

|AB||AC|=48，代入得：A（4，4）或（-4，4）．

點評：本題考查了熟練掌握導數(shù)的幾何意義、直線的斜率與傾斜角的關(guān)系、直線與拋物線相交問題、弦長公式即可得出，屬于中檔題．