Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=a_na_n+2（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：T_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）將n換為n-1，相減可得a_n=$\frac{1}{n}$，檢驗(yàn)n=1也成立；
（2）由$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n，
a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n-1，（n＞1）
兩式相減得${a_n}=\frac{1}{n}（n≥2）$，
又a₁=1，∴${a_n}=\frac{1}{n}（n∈{N^*}）$．
（2）證明：b_n=a_na_n+2（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1•3}$+$\frac{1}{2•4}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$，
則${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$＜$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)變換法，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．