Question

記不等式組

x≤1 x-y+2≥ x+y+1≥0

0表示的平面區(qū)域為M．
（Ⅰ）畫出平面區(qū)域M，并求平面區(qū)域M的面積；
（Ⅱ）若點（a，b）為平面區(qū)域M中任意一點，求直線y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限的概率．

Answer 1

分析：（I）分別聯(lián)解方程組，得到三條直線的三個交點的坐標，再根據(jù)一元二次不等式組表示的平面區(qū)域的結論，可得平面區(qū)域M為：△ABC及其內(nèi)部，其中A(-

3

2

，

1

2

)、B（1，3）、C（1，-2），最后可用三角形面積公式求出區(qū)域M的面積．
（II）直線y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以使直線y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限的點（a，b）的區(qū)域為區(qū)域M內(nèi)與第二象限交集，即圖中陰影部分，可求出其面積S'，最后利用幾何概型公式，求出其概率．

解答：解：（Ⅰ）聯(lián)解

x-y+2=0 x+y+1=0

，得x=-

3

2

，y=

1

2

，得到點A(-

3

2

，

1

2

)；
聯(lián)解

x=1 x-y+2=0

，得x=1，y=3，得到點B（1，3）；聯(lián)解

x=1 x+y+1=0

，得x=1，y=-2，得到點C（1，-2）
∴根據(jù)一元二次不等式組表示的平面區(qū)域的結論，可得平面區(qū)域M表示直線AB下方，直線AC上方且在直線BC左側(cè)的部分
因此，可得平面區(qū)域M為：△ABC及其內(nèi)部，其中A(-

3

2

，

1

2

)、B（1，3）、C（1，-2），（如右圖所示）（3分）
∴平面區(qū)域M的面積為S=

1

2

×

5

2

×5=

25

4

（5分）
（Ⅱ）要使直線y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則a＜0，b＞0，（6分）
又∵點（a，b）的區(qū)域為M，
∴使直線y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限的點（a，b）的區(qū)域為第二象限的陰影部分，
其面積為S'=2-

1

2

×

1

2

×1=

7

4

                                （8分）
故所求的概率為P=

S′

S

=

7 4

25 4

=

7

25

（10分）

點評：本題以二元一次不等式組表示的平面區(qū)域為例，考查了平面直角坐標系中求直線交點坐標、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域和幾何概型等知識點，屬于基礎題．