Question

已知函數(shù), .
（1）若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交、于點(diǎn)、，問是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為；當(dāng)時，的最小值為；（3）不存在點(diǎn).

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想、構(gòu)造函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題；第二問，利用配方法求最值，討論對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的大小，本問突出體現(xiàn)了分類討論思想的運(yùn)用；第三問，把問題坐標(biāo)化，用反證法證明，利用切線平行，列出方程，構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性求最值，得出矛盾.
試題解析：（1）依題意：在上是增函數(shù)，
對恒成立，       2分
∴
∵,則.
∴的取值范圍為                   4分
（2）設(shè)，則函數(shù)化為
∵
∴當(dāng)，即時，函數(shù)在上為增函數(shù).
當(dāng)時，；                     6分
當(dāng)，即時，當(dāng)時，；
當(dāng)，即時，函數(shù)在上是減函數(shù).
當(dāng)時，                       8分
綜上所述，當(dāng)時，的最小值為.
當(dāng)時，的最小值為.
當(dāng)時，的最小值為.              9分
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是且則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
在點(diǎn)處的切線斜率為
在點(diǎn)處的切線斜率為       10分
假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則
則                      11分
則




設(shè)，則 ①                12分
令，則
∵，∴，所以在上單調(diào)遞增，
故，則.
這與①矛盾，假設(shè)不成立.故C₁在點(diǎn)M處的切線與C₂在點(diǎn)N處的切線不平行.                                 14分