Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=5，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由等比數(shù)列的定義，將題設(shè)中的遞推公式變形成（a_n+2-a_n+1）：（a_n+1-a_n）=常數(shù)的形式；
（2）利用（1）中的結(jié)論，先求出a_n+1-a_n的表達(dá)式，再利用逐差求和法求出a_n；
（3）利用分組求和法進(jìn)行作答．

解答：解：（1）由題意知：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）．
∴

an+2-an+1

an+1-an

=2，故數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列（4分）．
（2）由（1）知數(shù)列{a_n+1-a_n}以是a₂-a₁=3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1，
∴a₂-a₁=3•2⁰，a₃-a₂=3•2¹，a₄-a₃=3•2²，…，a_n-a_n-1=3•2^n-2，
∴an-a1=

3(1-2n-1)

1-2

=3(2n-1-1)．即an=3•2n-1-1.（8分）
（3）∵a_n=3•2^n-1-1，
∴s_n=3•

1-2n

1-2

-n=3•2ⁿ-n-3．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，綜合運(yùn)用了逐差求和法和分組求和法，難度一般．