Question

15．設a＞0，若y=cos²x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值．

Answer 1

分析 用配方法整理函數(shù)解析式，根據(jù)sinx的范圍和a的范圍確定函數(shù)的最大和最小值，聯(lián)立方程可求得a和b．

解答 解：原函數(shù)變形為y=-$（sinx+\frac{a}{2}）^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，
∵-1≤sinx≤1，a＞0，
∴若0＜a≤2，當sinx=-$\frac{a}{2}$時，
y_max=1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=0，①
當sinx=1時，y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4，②
聯(lián)立①②式解得a=2，b=-2；
若a＞2時，$\frac{a}{2}$∈（1，+∞），
∴y_max=-$（1-\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=a+b=0，③
y_min=-$（1+\frac{a}{2}）^{2}$+1+b+$\frac{{a}^{2}}{4}$=-a+b=-4，④
由③④得a=2時，而$\frac{a}{2}$=1（舍去），
故a=2，b=-2．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．