Question

【題目】某景區(qū)擬將一半徑為的半圓形綠地改建為等腰梯形(如圖，其中為圓心，點(diǎn)在半圓上)的放養(yǎng)觀賞魚的魚池，周圍四邊建成觀魚長廊（寬度忽略不計）.設(shè)，魚池面積為(單位：).

（1）求S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求魚池面積何時最大；

（2）已知魚池造價為每平方米2000元，長廊造價為每米3000元，問此次改建的最高造價不超過多少？（取計算）

Answer 1

【答案】（1），；時，（2）27000000

【解析】

（1）結(jié)合三角函數(shù)的基本概念，表示出等腰梯形的上底下底和高，結(jié)合和面積公式和導(dǎo)數(shù)即可求解

（2）作，求出，則 ，表示等腰梯形周長為

，進(jìn)而表示出總造價公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，進(jìn)而求解

如圖，，，則等腰梯形面積為

，代入數(shù)據(jù)可得：，

，當(dāng)時，，，時，，，故當(dāng)時，函數(shù)取到最大值，

（2）作，得，，等腰梯形周長為：

，結(jié)合（1）中面積，可得總造價

化簡得：

由（1）知在時單調(diào)遞增，時單調(diào)遞減，令

則，令，，當(dāng)時，，時，，故得出與在上增減性相同，所以在單增，時單減，在時取到最大值：

故總造價不超過27000000元