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如圖,四棱錐SABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,ESC上一點.?

(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;?

(2)假設SA=4,AB=2,求點A到平面SBD的距離;?

(3)當的值為多少時,二面角B-SC-D的大小為120°?

提示:(1)易證SABD、ACBDBD⊥面SAC,得面EBD⊥面SAC.?

(2)用等體積法,易求出距離為.?

(3)分別以AB、ADAS所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系,不妨設AB=1,SA=h.

B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,h),不妨使EBSC,設(0<λ<1),則=λ(-1,-1,h).?

=(-λ,1-λ,λh).?

·=λ-1+λ+λh2=0λh2=1-2λ,這時=(1-λ,-λ,λh).?

·=-1+λ+λ+λh2=0,?

DECS.?

EBSC,∴SC⊥面BED.?

∴∠BED是二面角BSCD的大小.∴∠BED=120°,且||=||=.?

這時, cos120°.?

∴λ(λ-1)+(λ-1)·λ+λ2h2?

=-[λ2+(1-λ)22h2].?

∴6λ2-6λ+1+3λ2h2=0.?

又∵λh2=1-2λ(0<λ<1),?

∴λ=.?

這時,h2=1,即h=1.?

=1時,二面角B-SC-D的大小為120°.

練習冊系列答案
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精英家教網如圖,四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的一點,平面EDC⊥平面SBC.
(Ⅰ)證明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大。

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3
,點E、G分別在AB,SG 上,且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC.
(1)證明平面BG∥平面SDE;
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(2013•醴陵市模擬)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P為BC邊的中點,AD=2,AB=1.SP與平面ABCD所成角為
π4
. 
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(2)求三棱錐S-APD的體積.

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如圖,四棱錐S-ABCD底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一點,且SE=2EC,SA=6,AB=2.
(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;
(2)求三棱錐E-BCD的體積V.

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(2006•西城區(qū)二模)如圖,四棱錐S-ABCD中,平面SAC與底面ABCD垂直,側棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°,AD∥BC,且AB=BC=2AD.
(1)求證:四邊形ABCD是直角梯形;
(2)求異面直線SB與CD所成角的大;
(3)求直線AC與平面SAB所成角的大。

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