(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;?
(2)假設SA=4,AB=2,求點A到平面SBD的距離;?
(3)當的值為多少時,二面角B-SC-D的大小為120°?
提示:(1)易證SA⊥BD、AC⊥BDBD⊥面SAC,得面EBD⊥面SAC.?
(2)用等體積法,易求出距離為.?
(3)分別以AB、AD、AS所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系,不妨設AB=1,SA=h.
則B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,h),不妨使EB⊥SC,設=λ(0<λ<1),則=λ(-1,-1,h).?
∴=(-λ,1-λ,λh).?
又·=λ-1+λ+λh2=0λh2=1-2λ,這時=(1-λ,-λ,λh).?
而·=-1+λ+λ+λh2=0,?
∴DE⊥CS.?
由EB⊥SC,∴SC⊥面BED.?
∴∠BED是二面角BSCD的大小.∴∠BED=120°,且||=||=.?
這時, cos120°.?
∴λ(λ-1)+(λ-1)·λ+λ2h2?
=-[λ2+(1-λ)2+λ2h2].?
∴6λ2-6λ+1+3λ2h2=0.?
又∵λh2=1-2λ(0<λ<1),?
∴λ=.?
這時,h2=1,即h=1.?
故=1時,二面角B-SC-D的大小為120°.
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