Question

已知橢圓（a＞b＞0）的左頂點和右焦點分別為A，F(xiàn)，右準線為直線m，圓D：x²+y²-6y-4=0．
（1）若點A在圓D上，且橢圓C的離心率為，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓C的離心率的取值范圍；
（3）若點P在（1）中的橢圓C上，且過點P可作圓D的兩條切線，切點分別為M、N，求弦長MN的取值范圍．

Answer 1

解：（1）對x²+y²-6y-4=0，令y=0，則x=±2．
所以，A（-2，0），a=2（2分）
又因為，，
所以，，（3分）
b²=a²-c²=1（4分）
所以，橢圓C的方程為：．（5分）
（2）由圖知△AFQ為等腰三角形（7分）
所以，2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0
又0＜e＜1，
所以，即橢圓離心率取值范圍為．（10分）
（3）連PD交MN于H，連DM，則由圓的幾何性質(zhì)知：H為MN的中點，DM⊥PM，MN⊥PD．
所以，
=
⊙D：x²+（y-3）²=13，
所以，（13分）
設(shè)P（x₀，y₀），則且-1≤y₀＜0
所以，PD²=x₀²+（y₀-3）²=-3y₀²-6y₀²+13=-3（y₀+1）²+16（-1≤y₀＜0）
所以，13＜PD²≤16（15分）
所以，．（16分）
分析：（1）對x²+y²-6y-4=0，令y=0，則x=±2．所以，A（-2，0），a=2，又因為，，所以，，由此能夠得到橢圓C的方程．
（2）由△AFQ為等腰三角形，知2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0，又0＜e＜1，所以，由此得到橢圓離心率取值范圍．
（3）連PD交MN于H，連DM，則由圓的幾何性質(zhì)知：H為MN的中點，DM⊥PM，MN⊥PD．所以，=．⊙D：x²+（y-3）²=13，，所以．由此能夠求出弦長MN的取值范圍．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．