Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求證：數列{a_n+1}是等比數列，并寫出數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足，求的值．

Answer 1

證明：（1）a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=1，
∴a₁+1≠0，a_n+1≠0，
=2，
∴數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．
即a_n+1=2ⁿ，因此a_n=2ⁿ-1． 　　　…（6分）
（2）∵=，
∴=，
∴2b_n-n=n²，
即b_n=（n²+n）．…（9分）
∴S=++…+
=2（1-+-+…+-）
=2（1-）
=．…（12分）
分析：（1）根據題意可證得=2，從而可求得a_n+1的通項公式，繼而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ-1，再由=可求得b_n=（n²+n），利用裂項法可求得S=++…+的值．
點評：本題考查等比數列的通項公式，考查裂項法求和，求得=2（-）是關鍵，考查轉化與運算能力，屬于中檔題．