已知橢圓＋y2＝1的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點．

(1) 當直線AM的斜率為1時，求點M的坐標；

(2) 當直線AM的斜率變化時，直線MN是否過x軸上的一定點？若過定點，請給出證明，并求出該定點；若不過定點，請說明理由．


解：(1) 直線AM的斜率為1時，直線AM為y＝x＋2，代入橢圓方程并化簡得5x2＋16x＋12＝0，

解之得x1＝－2，x2＝－，

∴ 點M的坐標為.

(2) 設直線AM的斜率為k，則AM為y＝k(x＋2)，

則化簡得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

∵ 此方程有一根為－2，∴ xM＝，

同理可得xN＝.

由(1)知若存在定點，則此點必為P.

∵ kMP＝

同理可計算得kPN＝.

∴直線MN過x軸上的一定點P.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


 設a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.

(1) 求函數(shù)f(x)的解析式；

(2) 已知常數(shù)ω＞0，若y＝f(ωx)在區(qū)間上是增函數(shù)，求ω的取值范圍；

(3) 設集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若AB，求實數(shù)m的取值范圍．

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已知雙曲線方程是x2－＝1，過定點P(2，1)作直線交雙曲線于P1、P2兩點，并使P(2，1)為P1P2的中點，則此直線方程是____________．

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 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個端點為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點A、B.

(1) 若AB＝，求k的值；

(2) 求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.

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　如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

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已知拋物線y2＝2px(p≠0)及定點A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，M是拋物線上的點．設直線AM、BM與拋物線的另一個交點分別為M1、M2，當M變動時，直線M1M2恒過一個定點，此定點坐標為________．

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已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1) 當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；

(2) 當＝λ，求λ的最大值．

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 如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p>0)上．

(1) 求拋物線E的方程；

(2) 設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q.證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知曲線C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．

(1) 若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

(2) 設m＝4，曲線C與y軸的交點為A，B(點A位于點B的上方)，直線y＝kx＋4與曲線C交于不同的兩點M，N，直線y＝1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線．

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