Question

10．（Ⅰ）關(guān)于x的不等式mx²-（m+3）x-1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式x²+ax+b＞0的解集為{x|x＞2或x＜1}，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，不等式可化為-3x-1＜0，顯然解集不為R，當(dāng)m≠0時(shí)，不等式mx²-（m+3）x-1＜0的解集為R，則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=mx²-（m+3）x-1的解集為R的圖象應(yīng)開口朝下，且與x軸沒有交點(diǎn)．
（Ⅱ）利用根與系數(shù)的關(guān)系求a，b．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=0時(shí)，不等式可化為-3x-1＜0，顯然解集不為R，
當(dāng)m≠0時(shí)，不等式mx²-（m+3）x-1＜0的解集為R，
則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=mx²-（m+3）x-1的解集為R的圖象應(yīng)開口朝下，且與x軸沒有交點(diǎn)，
故$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{（m+3）^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，
解得-9＜m＜-1，
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-9，-1）．
（Ⅱ）：由x的不等式x²+ax+b＞0的解集為{x|x＞2或x＜1}，得到方程x²+ax+b=0的兩根為1，2，
∴1+2=-a，1×2=b，
即a=3，b=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解集與對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系以及函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．