Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+（x-c）|x-c|，a＜0，c＞0．
（1）當a=-

3

4

，c=

1

4

時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當c=

a

2

+1時，若f（x）≥

1

4

對x∈（c，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設函數(shù)f（x）的圖象在點P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂））兩處的切線分別為l₁、l₂．若x₁=

- a 2

，x₂=c，且l₁⊥l₂，求實數(shù)c的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系，即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）≥

1

4

對x∈（c，+∞）恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可；
（3）由l₁⊥l₂知，f′(

- a 2

)f′(c)=-1，得到f′(

- a 2

)=-

c

a

，分類討論，再由導數(shù)與單調性的關系，即可得到實數(shù)c的最小值．

解答： 解：函數(shù)f(x)=

alnx+(x-c)2，x≥c alnx-(x-c)2，x＜c

，求導得f′(x)=

2x2-2cx+a x ，x≥c -2x2+2cx+a x ，x＜c

．
（1）當a=-

3

4

，c=

1

4

時，f′(x)=

8x2-2x-3 4x ，x≥ 1 4 -8x2+2x-3 4x ，x＜ 1 4

，
若x＜

1

4

，則f′(x)=

-8x2+2x-3

4x

＜0恒成立，所以f（x）在(0，

1

4

)上單調減；
若x≥

1

4

，則f′(x)=

(2x+1)(4x-3)

4x

，令f′（x）=0，解得x=

3

4

或x=-

1

2

（舍），
當

1

4

≤x＜

3

4

時，f′（x）＜0，f（x）在[

1

4

，

3

4

)上單調減；
當x＞

3

4

時，f′（x）＞0，f（x）在(

3

4

，+∞)上單調增．
所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是(0，

3

4

)，單調增區(qū)間是(

3

4

，+∞)． 
（2）當x＞c，c=

a

2

+1時，f′(x)=

(x-1)(2x-a)

x

，而c=

a

2

+1＜1，所以
當c＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上單調減；
當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調增．
所以函數(shù)f（x）在（c，+∞）上的最小值為f(1)=

a2

4

，
所以

a2

4

≥

1

4

恒成立，解得a≤-1或a≥1，
又由c=

a

2

+1＞0，得a＞-2，所以實數(shù)a的取值范圍是（-2，-1]． 
（3）由l₁⊥l₂知，f′(

- a 2

)f′(c)=-1，而f′(c)=

a

c

，則f′(

- a 2

)=-

c

a

，
若

- a 2

≥c，則f′(

- a 2

)=

2(- a 2 )-2c - a 2 +a

- a 2

=-2c，所以-2c=-

c

a

，
解得a=

1

2

，不符合題意；                     
故

- a 2

＜c，則f′(

- a 2

)=

-2(- a 2 )+2c - a 2 +a

- a 2

=-

-8a

+2c=-

c

a

，
整理得，c=

a -8a

2a+1

，由c＞0得，a＜-

1

2

，
令

-8a

=t，則a=-

t2

8

，t＞2，所以c=

- t2 8 •t

- t2 4 +1

=

t3

2t2-8

，
設g(t)=

t3

2t2-8

，則g′(t)=

2t2(t2-12)

(2t2-8)2

，
當2＜t＜2

3

時，g′（t）＜0，g（t）在(2，2

3

)上單調減；
當t＞2

3

時，g′（t）＞0，g（t）在(2

3

，+∞)上單調增．
所以，函數(shù)g（t）的最小值為g(2

3

)=

3 3

2

，故實數(shù)c的最小值為

3 3

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．