Question

6．若x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ y≤2x\\ x+y≤1\end{array}\right.$若z=x+my的最大值為$\frac{5}{3}$，則實數(shù)m=2．

Answer 1

分析 畫出滿足約束條件的可行域，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值，從而建立關(guān)于m的等式，即可得出答案．

解答 解：由z=x+my得y=$-\frac{1}{m}$x$+\frac{z}{m}$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
∵z=x+my的最大值為$\frac{5}{3}$，
∴此時z=x+my=$\frac{5}{3}$，
此時目標(biāo)函數(shù)過定點(diǎn)C（$\frac{5}{3}$，0），
作出x+my=$\frac{5}{3}$的圖象，
由圖象知當(dāng)直線x+my=$\frac{5}{3}$，經(jīng)過但A時，
直線AC的斜率k=$-\frac{1}{m}$＞-1，
即m＞1，
由平移可知當(dāng)直線y=$-\frac{1}{m}$x$+\frac{z}{m}$，
經(jīng)過點(diǎn)A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，此時滿足條件，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
同時，A也在直線x+my=$\frac{5}{3}$上，
代入得$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$m=$\frac{5}{3}$，解得m=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定取得最大值的最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵．