Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為AB、BC的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在DD₁上運(yùn)動時(shí)，是否都有MN∥平面A₁C₁P？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，二面角P-MN-B₁ 為直二面角；
（3）按圖中示例，在給出的方格紙中，用事先再畫出此正方體的4個(gè)形狀不同的表面展開圖，且每個(gè)展開提均滿足條件“有四個(gè)正方形連成一個(gè)長方形”．（如果多畫，則按前4個(gè)記分）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在DD₁上移動時(shí)，都有MN∥平面A₁C₁P．由線面平行的判定定理證明即可
（2）設(shè)DP=t，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠推導(dǎo)出當(dāng)DP=

3

8

時(shí)，二面角P-MN-B₁ 為直二面角．
（3）由正方體12種展開圖，選其中“1-4-1”的情況即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在DD₁上移動時(shí)，都有MN∥平面A₁C₁P   …（1分）
證明如下：
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=CC₁，AA₁∥CC₁
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，
∴AC∥A₁C₁
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A₁C₁
又∵M(jìn)N?面A₁C₁P，A₁C₁?平面A₁C₁P，
∴MN∥平面A₁C₁P，…（4分）
（2）設(shè)DP=t，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（1，

1

2

，0），N（

1

2

，1，0），B₁（1，1，1），P（0，0，t），
∴

MN

=（-

1

2

，

1

2

，0），

MB1

=（0，

1

2

，1），

MP

=（-1，-

1

2

，t），
設(shè)平面MNB₁的法向量為

m

=（x，y，z），則

MN

•

m

=0，

MB1

•

m

=0，
∴

1 2 x+z=0 - 1 2 x+ 1 2 y=0

，解得

m

=（2，2，-1）．
設(shè)平面MNP的法向量為

n

=(x1，y1，z1)，則

MN

•

n

=0，

MP

•

n

=0，
∴

- 1 2 x1+ 1 2 y1=0 -x1- 1 2 y1+tz1=0

，解得

n

=（1，1，

3

2

t），
∵二面角P-MN-B₁ 為直二面角，
∴

m

•

n

=2+2-

3

2

t=0，解得t=

3

8

．
故當(dāng)DP=

3

8

時(shí)，二面角P-MN-B₁ 為直二面角．…（9分）
（3）符合條件的表面展開圖還有5個(gè)，如圖，正確畫出一個(gè)得（1分）…（13分）

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，推理論證能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．