Question

7．已知二次函數(shù)y=f（x）的定義域為R，f（x）在x=m時取得最值，又知y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x²+x-2．
（1）求f（x）的解析式，用m表示；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時，f（x）≥-3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用在x=m處取得最值設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再利用y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x²+x-2，求出a和b即可求f（x）的解析式．
（2）分別討論給定區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系，結(jié)合f（x）≥-3恒成立，綜合討論結(jié)果，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=a（x-m）²+b，
又f（x）+g（x）=x²+x-2，g（x）為一次函數(shù)，
∴a=1，則b=1-（1-m）²，
∴f（x）=（x-m）²+1-（1-m）²=（x-m）²-m²+2m．
（2）由函數(shù)f（x）=（x-m）²-m²+2m的圖象是開口朝上，且以直線x=m為對稱軸的拋物線，
且當(dāng)x∈[-2，1]時，f（x）≥-3恒成立，則：
當(dāng)m≤-2時，僅須f（-2）=6m+4≥-3，解得：m≥-$\frac{7}{6}$，此時不存在滿足條件的m值；
當(dāng)-2＜m＜1時，僅須f（m）=2m-m²≥-3，解得：-1≤m≤3，此時：-1≤m＜1；
當(dāng)m≥1時，僅須f（1）=1≥-3，解得：m≥1；
綜上所述：m≥-1．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．