Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

x≥1 y≥1 x-y+1≥0 x+y≤6

，則z=

x+2y

2x+y

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：考查約束條件表示的可行域，求出四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，通過換元法化簡目標(biāo)函數(shù)，求出斜率的范圍，然后求解目標(biāo)函數(shù)的范圍即可．

解答： 解：作出滿足x≥1，y≥1，x+y≤6，x-y+1≥0的可行域如圖中的陰影部分，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（1，2）、C（

5

2

，

7

2

）、D（5，1），
將目標(biāo)函數(shù)變形為z=

x+2y

2x+y

=

1+ 2y x

2+ y x

，令k=

y

x

，
則z=

1+2k

2+k

，而k=

y

x

表示可行域中的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合易得可行域中的點(diǎn)D、B與原點(diǎn)連線的斜率分別取得最小值、最大值，故k=

y

x

∈[

1

5

，2]，再由函數(shù)的性質(zhì)易得z∈[

7

11

，

5

4

]．
故答案為：[

7

11

，

5

4

]．

點(diǎn)評(píng)：在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，我們常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域⇒②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)⇒③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)⇒④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解．注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．