Question

（本小題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩定點(diǎn)F₁和F₂的距離之和為，設(shè)點(diǎn)的軌跡是曲線.(1)求曲線的方程；   (2)若直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)、(、不是曲線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn))，以為直徑的圓過點(diǎn)，試判斷直線是否經(jīng)過一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)   ；（2）直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．

【解析】

試題分析：(1)設(shè)，由橢圓定義可知，

點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長半軸長為2的橢圓．

它的短半軸長，故曲線的方程為： 

（2）設(shè)．

聯(lián)立  消去y，整理得，

則 

又．

因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050410340538071104/SYS201305041034396620346388_DA.files/image015.png">為直徑的圓過點(diǎn)，，即．

．

．

．

解得：，且均滿足．

當(dāng)時(shí)，的方程，直線過點(diǎn)，與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過定點(diǎn)．

所以，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：典型題，關(guān)于橢圓的考查，往往以這種“連環(huán)題”的形式出現(xiàn)，首先求標(biāo)準(zhǔn)方程，往往不難。而涉及在直線與橢圓的位置關(guān)系，往往要利用韋達(dá)定理，實(shí)現(xiàn)“整體代換”。