Question

已知向量

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），其中a＞0，若函數(shù)f（x）=

a

•

b

的圖象與直線y=m（m＞0）相切，且切點(diǎn)橫坐標(biāo)成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求a和m的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊．若f(

A

2

)=

3

2

，且a=4，求△ABC面積的最大值及此時(shí)b、c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）解析式，根據(jù)題意確定出函數(shù)的周期及最大值，即可求出a與m的值；
（2）由確定出的解析式及f（

A

2

）=

3

2

，求出A的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把sinA的值代入，表示出三角形ABC面積，利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosA與a的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值，以及此時(shí)b與c的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

cos²ax-sinaxcosax=

3

2

-sin（2ax-

π

3

），
由題意，函數(shù)f（x）的周期為π，且最大（或最小）值為m，而m＞0，

3

2

-1＜0，
∴a=1，m=

3

2

+1；
（2）∵f（

A

2

）=

3

2

，∴sin（A-

π

3

）=0，
又A為△ABC的內(nèi)角，∴A=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
∵cosA=

1

2

，a=4，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²=16+bc≥2bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
整理得：bc≤16，
∴S_△ABC=

3

4

bc≤4

3

，
則當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)，△ABC的面積取得最大值4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．