Question

12．已知拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$，過(guò)點(diǎn)P（0，2）作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-4．

Answer 1

分析 設(shè)直線l：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)直線l：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，化為x²-4kx-8=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8．
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=-8（1+k²）+8k²+4
=-4．
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．