Question

2．已知與直線$x=-\frac{1}{4}$相切的動(dòng)圓M與圓$C：{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$外切．
（1）求圓心M的軌跡L的方程；
（2）若傾斜角為$\frac{π}{4}$且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2.0）的直線l與曲線L相交于兩點(diǎn)A、B，求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）確定點(diǎn)M到點(diǎn)$C（{\frac{1}{2}，0}）$與直線$x=-\frac{1}{2}$的距離相等，即可求圓心M的軌跡L的方程；
（2）直線l的方程為y=x-2，聯(lián)立y²=2x得x²-6x+4=0，證明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，
∵圓M與圓$C：{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$外切，∴$|{MC}|=r+\frac{1}{4}$，…（1分）
∵圓M與直線$x=-\frac{1}{4}$相切，∴圓心M到直線$x=-\frac{1}{4}$的距離為r，…（2分）
則圓心M到直線$x=-\frac{1}{2}$的距離為$r+\frac{1}{4}$，…（3分）
∴點(diǎn)M到點(diǎn)$C（{\frac{1}{2}，0}）$與直線$x=-\frac{1}{2}$的距離相等，…（4分）
即圓心M的軌跡方程是拋物線y²=2x…（5分）
（2）直線l的方程為y=x-2，聯(lián)立y²=2x得x²-6x+4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6，x₁x₂=4…（10分）
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴OA⊥OB…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查拋物線定義的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．