Question

設(shè)a為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）至多有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得，令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得，討論函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值；
（2）分類討論，當(dāng)極小值f（a）=1-a³≥0，或極小值f（a）=1-a³＜0，函數(shù)的零點個數(shù)，
進(jìn)而得到函數(shù)y=f（x）至多有兩個零點時，實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²-a²x+1，得f'（x）=3x²-2ax-a²．（2分）
令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得，

x				a	（a，+∞）
f（x）	+		-		+
f（x）	增	極大	減	極小	增

（5分）
∴（6分）
（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在上遞增，在上遞減，在（a，+∞）上遞增，
，（9分）
當(dāng)極小值f（a）=1-a³≥0，即0＜a≤1時，y=f（x）在上有1個或0個零點，
此時f（-1）=a²-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在上有1個零點，
∴0＜a≤1時，y=f（x）有1個或2個零點；                         （11分）
當(dāng)極小值f（a）=1-a³＜0，即a＞1時，y=f（x）在上有2個零點，
此時f（-a）=1-a³＜0，y=f（x）在上有1個零點，
∴當(dāng)a＞1時，y=f（x）有3個零點；                                 （13分）
綜上，若函數(shù)y=f（x）至多有兩個零點，則a的取值范圍是a∈（0，1]．（14分）
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值與最值的求解及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．