Question

1．2014巴西世界杯結束后，某網(wǎng)站針對世界杯情況進行了調查，參與調查的人主要集中在[20，50]歲之間，若規(guī)定；觀看世界杯直播32場（含）以下者，稱為“非球迷”，觀看比賽直播超過32場這成為“球迷”，得到如下統(tǒng)計表：

分組編號	年齡分組	球迷	所占比例
1	[20，25]	1200	0.5
2	[25，30]	1800	0.6
3	[30，35]	1000	0.5
4	[35，40]	a	0.4
5	[40，45]	300	0.2
6	[45，50]	200	0.1

若參與調查的“非球迷”總人數(shù)為7600人．
（1）求a的值；
（2）從年齡在[20，35）的“球迷”中按照年齡區(qū)間分層抽樣的方法抽取20人
①從這20人中隨機抽取2人，求這2人恰好屬于同一年齡區(qū)間的概率
②從這20人中隨機抽取2人，用ζ表示年齡在[30，35）之間的人數(shù)，求ξ的分布列及期望值E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）利用所給比例，結合參與調查的“非球迷”總人數(shù)為7600人，建立方程，即可求a的值；
（2）確定年齡在[20，25）上的應該抽取6人，年齡在[25，30）上的應該抽取9人，年齡在[30，35）上的應該抽取5人．①利用古典概型的概率公式可求這2人恰好屬于同一年齡區(qū)間的概率；
②確定ξ的可能取值為0，1，2，求出相應的概率，寫出分布列然后求解期望．

解答 解：（1）因為“非球迷”總人數(shù)為7600人，
所以1200×0.5+$1800×\frac{1-0.6}{0.6}$+1000+a×$\frac{1-0.4}{0.4}$+300×$\frac{1-0.2}{0.2}$+200×$\frac{1-0.1}{0.1}$=7600，
所以a=800；
（2）年齡在[20，35）的球迷共有1200+1800+1000=4000人，則年齡在[20，25）上的應該抽取6人，年齡在[25，30）上的應該抽取9人，年齡在[30，35）上的應該抽取5人．
①從這20人中隨機抽取2人，求這2人恰好屬于同一年齡區(qū)間的概率為P=$\frac{{C}_{6}^{2}+{C}_{9}^{2}+{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{61}{190}$；
②ζ的可能取值為0，1，2，則
P（ζ=0）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，P（ζ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，P（ζ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$
ξ的分布列

ξ	0	1	2
P	$\frac{21}{38}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{1}{19}$

期望值E（ξ）=0×$\frac{21}{38}$+1×$\frac{15}{38}$+2×$\frac{1}{19}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列期望的求法，古典概型的概率的求法，考查計算能力．