Question

10．證明f（x）=$\sqrt{x}$在定義域內(nèi)是增函數(shù)．

Answer 1

分析 求出定義域?yàn)閇0，+∞），運(yùn)用定義作差判斷：設(shè)0≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}}$$-\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$，主要是得出f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．

解答 證明：∵f（x）=$\sqrt{x}$在定義域?yàn)閇0，+∞）
∴設(shè)0≤x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}}$$-\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$，
∵0≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{{x}_{1}}$$+\sqrt{{x}_{2}}$＞0，
所以$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
得出：f（x₁）＜f（x₂）
∴根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義得出：f（x）=$\sqrt{x}$在定義域?yàn)閇0，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義，作差判斷，關(guān)鍵是分解因式，判斷符合，難度不大，屬于容易題．