Question

(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．
已知拋物線，F(xiàn)是焦點(diǎn)，直線l是經(jīng)過點(diǎn)F的任意直線．
(1)若直線l與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，且(O是坐標(biāo)原點(diǎn)，M是垂足)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若C、D兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足，求證直線CD必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是()．
直線CD的方程可化為． 直線CD恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)．

(本題滿分12分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．
解　(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．                 …………………1分
∵拋物線的焦點(diǎn)是，直線l恒過點(diǎn)F，且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，
又，
∴．                    …………………3分
∴，化簡，得．  …………………5分
又當(dāng)M與原點(diǎn)重合時(shí)，直線l與x軸重合，故．
∴所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是()．
(2) 設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為、．      …………………………6分
∵C、D在拋物線上，
∴，，即，．
又，
∴．     ………8分
∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為、，
∴直線CD的一個(gè)法向量是，可得直線CD的方程為：
　　，化簡，得
，進(jìn)一步用，有
．
又拋物線上任兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不相等，即．
∴直線CD的方程可化為．    ………………………10分
∴直線CD恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)．     ………………………12分