(本題滿分12分)本題共有2個小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分7分.
已知拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956522387.gif)
,F(xiàn)是焦點,直線l是經(jīng)過點F的任意直線.
(1)若直線l與拋物線交于兩點A、B,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956538457.gif)
(O是坐標原點,M是垂足),求動點M的軌跡方程;
(2)若C、D兩點在拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956522387.gif)
上,且滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956569387.gif)
,求證直線CD必過定點,并求出定點的坐標.
所求動點M的軌跡方程是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956585457.gif)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956600245.gif)
).
直線CD的方程可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956616585.gif)
. 直線CD恒過定點,且定點坐標為(2,0).
(本題滿分12分)本題共有2個小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分7分.
解 (1) 設動點M的坐標為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956632381.gif)
. …………………1分
∵拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956632385.gif)
的焦點是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956647316.gif)
,直線l恒過點F,且與拋物線交于兩點A、B,
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956663461.gif)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956678971.gif)
. …………………3分
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956694693.gif)
,化簡,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956585457.gif)
. …………………5分
又當M與原點重合時,直線l與x軸重合,故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956600245.gif)
.
∴所求動點M的軌跡方程是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956585457.gif)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956600245.gif)
).
(2) 設點C、D的坐標為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956756395.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956788407.gif)
. …………………………6分
∵C、D在拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956632385.gif)
上,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956819409.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956850409.gif)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956866566.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956881566.gif)
.
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956897593.gif)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231459569121194.gif)
. ………8分
∵點C、D的坐標為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956756395.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956788407.gif)
,
∴直線CD的一個法向量是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145957006586.gif)
,可得直線CD的方程為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145957022796.gif)
,化簡,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145957037788.gif)
,進一步用
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145957053629.gif)
,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145957068998.gif)
.
又拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956632385.gif)
上任兩點的縱坐標都不相等,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145957256401.gif)
.
∴直線CD的方程可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145956616585.gif)
. ………………………10分
∴直線CD恒過定點,且定點坐標為(2,0). ………………………12分
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)過拋物線y
2=2p
x(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點,O為坐標原點,直線OA 的斜率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161927307214.gif)
,直線OB的斜率為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161927323215.gif)
.
(1)求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161927307214.gif)
·
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161927323215.gif)
的值;
(2)由A、B兩點向準線做垂線,垂足分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161927370217.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161927385220.gif)
,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823161927401393.gif)
的大�。�
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知定點F(1,0),動點P在y軸上運動,過點P作PM交x軸于點M,并延長MP到點N,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145215339776.gif)
(Ⅰ)求動點N的軌跡方程;
(Ⅱ)直線
l與動點N的軌跡交于A、B兩點,若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145215354382.gif)
,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145215354630.gif)
,
求直線
l的斜率k的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144628862486.gif)
的焦點F與拋物線C:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144628878562.gif)
的焦點關于直線x-y=0
對稱.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知定點A(a,b),B(-a,0)(ab
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144628893479.gif)
),M是拋物線C上的點,設直線AM,
BM與拋物線的另一交點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144629049420.gif)
.求證:當M點在拋物線上變動時(只要
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144629049420.gif)
存在
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144629096438.gif)
)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144629112408.gif)
恒過一定點,并求出這個定點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428433202.gif)
為拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428464440.gif)
上的一個動點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428480216.gif)
為圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428511502.gif)
上的動點,設點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428433202.gif)
到拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428542205.gif)
的準線距離為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428558198.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154428573429.gif)
的最小值為
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
(文)已知過拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150559488387.gif)
的焦點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150559551200.gif)
的直線交該拋物線于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150559551200.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150559566206.gif)
兩點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150559629425.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150559644297.gif)
___________ .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
參數(shù)方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823145609464844.gif)
為參數(shù))表示的曲線是( )
A 拋物線 B 雙曲線 C 雙曲線的一部分 D 拋物線的一部分
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141753873433.gif)
上一點P到定點A(0,1)的距離為2,則點P到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141753889187.gif)
軸的距離為( )
查看答案和解析>>