Question

已知長(zhǎng)方形ABCD，拋物線l以CD的中點(diǎn)E為頂點(diǎn)，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，記拋物線l與AB邊圍成的封閉區(qū)域?yàn)镸．若隨機(jī)向該長(zhǎng)方形內(nèi)投入一粒豆子，落入?yún)^(qū)域M的概率為P．則下列結(jié)論正確的有

 

①不論邊長(zhǎng)AB，BC如何變化，P為定值  ②若

AB

BC

的值越大，P越大    ③當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)，P最大        ④當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC時(shí)，P最�。�

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：以E為原點(diǎn)，CD為x軸，過點(diǎn)E垂直于CD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用面積為測(cè)度，計(jì)算陰影面積，矩形ABCD的面積由幾何概型得所求事件的概率．

解答： 解：以E為原點(diǎn)，CD為x軸，過點(diǎn)E垂直于CD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．
設(shè)正方形的長(zhǎng)為2a，寬為b，則C（a，0），B（a，b），A（-a，b），D（-a，0），
設(shè)拋物線方程為y=mx²，代入點(diǎn)B，得m=

b

a2

，所以y=

b

a2

x²．
陰影面積S=2

∫

a 0

（b-

b

a2

x²）dx=2（bx-

b

3a2

x3）

|

a 0

=

4ab

3

，
矩形ABCD的面積S′=ab，
故由幾何概型得，所求事件的概率為P=

S

S′

=

4

3

為常數(shù)．
故答案為：①

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型，考查面積測(cè)度，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．