Question

設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e＝，已知點P(0，)到這個橢圓上的點最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

探究：它是解析幾何與代數(shù)中的最大值的綜合題．本題解答的關(guān)鍵是怎樣運用“最遠距離是”這個條件，可嘗試用兩點距離公式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問題來解． 　　解：設所求橢圓方程為＝1(a＞b＞0)， 　　由e＝，得a＝2b，① 　　設橢圓上任一點M的坐標為(x，y)，點M到點P的距離為d，則 　　x2＝，且 　　d2＝x2＋(y－)2＝＝－3y2－3y＋4b2＋＝－3(y＋)2＋4b2＋3其中－b≤y≤b． 　　如果b＜，則當y＝－b時， 　　d2取得最大值()2＝(b＋)2 　　解得與b＜矛盾． 　　如果b≥，則當y＝－時， 　　d2取得最大值()2＝4b2＋3，② 　　由①、②可得b＝1，a＝2． 　　所求橢圓方程為＝1， 　　由y＝－可得橢圓上到點P的距離等于的點為(，－)，(，－)． 　　規(guī)律總結(jié)：本題是一道考查橢圓知識和函數(shù)最值的綜合性問題，需要掌握全面的基礎知識和基本方法，在建立二次函數(shù)求最值時，要特別注意通過橢圓的范圍來確定自變量的取值范圍．