【題目】設(shè)為常數(shù),函數(shù).給出以下結(jié)論:
①若,則在區(qū)間上有唯一零點(diǎn);
②若,則存在實(shí)數(shù),當(dāng)時, ;
③若,則當(dāng)時,.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
由題意可得f(x)過原點(diǎn),求得f(x)的導(dǎo)數(shù),可得單調(diào)性、極值和最值,即可判斷①;結(jié)合最小值小于0,以及x的變化可判斷②③.
函數(shù)f(x)=ex(x﹣a)+a,可得f(0)=0,f(x)恒過原點(diǎn),
①,若a>1,由f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex(x﹣a+1),
即有x>a﹣1時,f(x)遞增;x<a﹣1時,f(x)遞減,
可得x=a﹣1處取得最小值,且f(a﹣1)=a﹣ea﹣1,
由ex≥x+1,可得a﹣ea﹣1<0,又f(a)=a>0
則f(x)在區(qū)間(a﹣1,a)上有唯一零點(diǎn),故正確;
②,若0<a<1,由①可得f(x)的最小值為f(a﹣1)<0,
且x→+∞時,f(x)→+∞,可得存在實(shí)數(shù)x0,當(dāng)x<x0時,f(x)>0,故正確;
③,若a<0,由①可得f(x)的最小值為f(a﹣1)<0,且x→﹣∞時,f(x)→﹣∞,
當(dāng)x<0時,f(x)<0,故正確.
故選:D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,根據(jù)性別采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“政治”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的2×2列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
選擇“物理” | 選擇“政治” | 總計(jì) | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
總計(jì) |
(2)在(1)的條件下,從選擇“政治”的學(xué)生中抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取2 人,設(shè)這2人中男生的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附參考公式及數(shù)據(jù):,其中
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力,他們以函數(shù)為基本素材,研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),取得部分研究成果如下:其中研究成果正確的是( )
A.同學(xué)甲發(fā)現(xiàn):函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?/span>1,1),且f(x)是偶函數(shù)
B.同學(xué)乙發(fā)現(xiàn):對于任意的x∈(﹣1,1),都有
C.同學(xué)丙發(fā)現(xiàn):對于任意的a,b∈(﹣1,1),都有
D.同學(xué)丁發(fā)現(xiàn):對于函數(shù)定義域內(nèi)任意兩個不同的實(shí)數(shù)x1,x2,總滿足
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)lg.
(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)解關(guān)于x的不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,.
若,解不等式;
若不等式對一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
若,解不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,分別是邊上的三等分點(diǎn),將分別沿、折起到、的位置,且使平面底面,平面底面,連結(jié).
(1)證明:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表中的數(shù)據(jù)是一次階段性考試某班的數(shù)學(xué)、物理原始成績:
用這44人的兩科成績制作如下散點(diǎn)圖:
學(xué)號為22號的同學(xué)由于嚴(yán)重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常,學(xué)號為31號的同學(xué)因故未能參加物理學(xué)科的考試,為了使分析結(jié)果更客觀準(zhǔn)確,老師將兩同學(xué)的成績(對應(yīng)于圖中兩點(diǎn))剔除后,用剩下的42個同學(xué)的數(shù)據(jù)作分析,計(jì)算得到下列統(tǒng)計(jì)指標(biāo):
數(shù)學(xué)學(xué)科平均分為110.5,標(biāo)準(zhǔn)差為18.36,物理學(xué)科的平均分為74,標(biāo)準(zhǔn)差為11.18,數(shù)學(xué)成績
與物理成績的相關(guān)系數(shù)為,回歸直線(如圖所示)的方程為.
(1)若不剔除兩同學(xué)的數(shù)據(jù),用全部44人的成績作回歸分析,設(shè)數(shù)學(xué)成績與物理成績的相關(guān)系數(shù)為,回歸直線為,試分析與的大小關(guān)系,并在圖中畫出回歸直線的大致位置;
(2)如果同學(xué)參加了這次物理考試,估計(jì)同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)(精確到個位);
(3)就這次考試而言,學(xué)號為16號的同學(xué)數(shù)學(xué)與物理哪個學(xué)科成績要好一些?(通常為了比較某個學(xué)生不同學(xué)科的成績水平,可按公式統(tǒng)一化成標(biāo)準(zhǔn)分再進(jìn)行比較,其中為學(xué)科原始分,為學(xué)科平均分,為學(xué)科標(biāo)準(zhǔn)差).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為奇函數(shù), 為偶函數(shù),且.
(1)求及的解析式及定義域;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(3)如果函數(shù),若函數(shù)有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線: 的離心率, 、為其左右焦點(diǎn),點(diǎn)在上,且, , 是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)過的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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