Question

若正項數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)，使得對一切都成立，則稱數(shù)列為級等比數(shù)列．
（1）已知數(shù)列為2級等比數(shù)列，且前四項分別為，求的值；
（2）若為常數(shù)），且是級等比數(shù)列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時數(shù)列的前項和；
（3）證明：為等比數(shù)列的充要條件是既為級等比數(shù)列，也為級等比數(shù)列．

Answer 1

（1）（2），0，（3）詳見解析.

試題分析：（1）解新定義數(shù)列問題，關(guān)鍵從定義出發(fā)，建立等量關(guān)系. ,
,,（2）本題化簡是關(guān)鍵.因為是級等比數(shù)列，所以
 

所以，最小正值等于，此時
，（3）充分性就是驗證，易證，關(guān)鍵在于證必要性，可從兩者中在交集（共同元素）出發(fā). ,成等比數(shù)列, 因此既是中的項，也是中的項，既是中的項，也是中的項，可得它們公比的關(guān)系，進而推出三者結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，得出等比數(shù)列的結(jié)論.
解（1）   （2分）

   （4分）
（2）是級等比數(shù)列，
 （1分）




所以，
 （3分）
最小正值等于，此時
，，
 （5分）
 （6分）
（3）充分性：若為等比數(shù)列，則
對一切成立，顯然對成立。
所以既為級等比數(shù)列，也為級等比數(shù)列。 （2分）
必要性：若為級等比數(shù)列，，則均成等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比分別為，為級等比數(shù)列，，則成等比數(shù)列，設(shè)公比為     （3分）
既是中的項，也是中的項，
既是中的項，也是中的項，
     （5分）
設(shè)，則
所以（），（），
又，，
所以，     （7分）
（）
所以，，（）
綜合得：，顯然為等比數(shù)列。     （8分）