Question

15．電視臺有一個闖關(guān)游戲節(jié)目．參加游戲的每支隊伍由父、母與小孩三人組成，規(guī)則如下：每隊三次機(jī)會，每次只派一人上場，在規(guī)定時間內(nèi)答對10題則過關(guān)，否則淘汰，再派另一個人上場，若三人有一人通過則全隊通過．某家庭各自過關(guān)的概率分別為P₁（父親）、P₂（母親）、P₃（小孩），P₁、P₂、P₃互不相等且各自能否過關(guān)互不影響．
（1）該家庭闖關(guān)能否成功是否與上場順序有關(guān)？并說明理由；
（2）若按父、母、小孩的順序上場，求出場人數(shù)x的分布列及均值；
（3）若P₃＜P₂＜P₁＜1，分析以怎樣的順序上場可使所需出場人數(shù)的期望最�。�

Answer 1

分析 （1）由P=1-（1-P₁）（1-P₂）（1-P₃），得到該家庭闖關(guān)能否成功與上場順序無關(guān)．
（2）設(shè)X為出場人數(shù)，則X=1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（3）對P₁、P₂、P₃作任意排列q₁、q₂、q₃．由（3-2q₁-q₂+q₁q₂）-（3-2P₁-P₂+P₁P₂）≥0，得到以父母小孩的順序上場均值最小．

解答 解：（1）∵P=1-（1-P₁）（1-P₂）（1-P₃），
∴該家庭闖關(guān)能否成功與上場順序無關(guān)．
（2）設(shè)X為出場人數(shù)，則X=1、2、3，
P（X=1）=p₁，
P（X=2）=（1-p₁）p₂，
P（X=3）=（1-p₁）（1-p₂），
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	p1	（1-p1）p2	（1-p1）（1-p2）

EX=p₁+2（1-p₁）p₂+3（1-p₁）（1-p₂）=3-2p₁-p₂+p₁p₂．
（3）對P₁、P₂、P₃作任意排列q₁、q₂、q₃．
（3-2q₁-q₂+q₁q₂）-（3-2P₁-P₂+P₁P₂）
=2（P₁-q₁）（P₂-q₂）-（P₁-q₁）P₂-q₁（P₂-q₂）
=（2-P₂）（P₁-q₂）+（1-q₁）（P₂-q₂）
≥（1-q₁）[（P₁+P₂）-（q₁+q₂）]≥0，
∴以父母小孩的順序上場均值最�。�

點評 本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．