Question

設(shè)函數(shù)f（x）=m（1+sin2x）+cos2x，x∈R，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

π

4

，2）．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值及此時(shí)x值的集合．

Answer 1

分析：（1）由f（

π

4

）=2即可求得實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得f（x）的最小值及此時(shí)x值的集合．

解答：解：（1）由已知得：f（

π

4

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2，
解得m=1．
（2）由m=1得f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴當(dāng)sin（2x+

π

4

）=-1時(shí)，f（x）取得最小值1-

2

，
由sin（2x+

π

4

）=-1得：2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，
即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）取得最小值時(shí)，x值的集合為{x|x=kπ-

3π

8

（k∈Z）．}

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．