Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

圖象在x=1處的切線方程為2y-1=0．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)（B在A、C之間）在曲線y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，試探究f(2sin2A+sin2C)與f(2sin2B)的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的解析式，利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象在x=1處的切線方程為2y-1=0，得到x=1時(shí)導(dǎo)函數(shù)值為0，x=1時(shí)函數(shù)值為

1

2

，列出兩個(gè)關(guān)于a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，代入確定出導(dǎo)函數(shù)解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)得到函數(shù)的增減性，根據(jù)增減性得到函數(shù)的極小值及極大值即可；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，把第一問(wèn)確定出的a與b的值代入，確定出f（x）的解析式，代入曲線方程中，并利用求導(dǎo)法則求出曲線解析式的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x大于1時(shí)，確定導(dǎo)函數(shù)恒大于0，可得出曲線在x大于1時(shí)為增函數(shù)，則由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

BA

•

BC

，得到其值小于0，可得出B為鈍角，利用余弦定理表示出cosB，根據(jù)B為鈍角可得出cosB小于0，整理后得到a²+c²＜b²，再利用正弦定理化簡(jiǎn)得到sin²A+sin²C＜sin²B，根據(jù)f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，可得出f(2sin2A+sin2C)與f(2sin2B)的大小關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)得：f′（x）=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

，
由題意得：f′（1）=0，f（1）=

1

2

，
∴

-a-2b+a

4

=0，

a+b

2

=

1

2

，
解得a=1，b=0，…（3分）
∴由f′（x）=-

(x-1)(x+1)

(x2+1)2

＞0，解得：x＜-1或x＞1；
由f′（x）=-

(x-1)(x+1)

(x2+1)2

＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）或（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-1，1）上是增函數(shù)，
則f（x）的極小值為f（-1）=-

1

2

，f（x）的極大值為f（1）=

1

2

；…（6分）
（Ⅱ） 設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，
y=f（x）+ln（x-1）=

x

x2+1

+ln（x-1）（x＞1），
∴y'=

x4-x3+3x2+x

x(x2+1)2

＞0，
∴函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，…（9分）
∵

BA

•

BC

=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，
∴B是鈍角，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

＜0，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得：sin²A+sin²C＜sin²B，
則2sin2B＞2sin2A+sin2C＞1，
又∵f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴f(2sin2B)＞f(2sin2A+sin2C)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．