Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F垂直于x軸的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，△AOB的面積為2．

（1）求拋物線C的方程；

（2）若過P（，0）的直線與C相交于M，N兩點(diǎn)，且2，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）或．

【解析】

（1）先得出直線AB的方程，將直線AB的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求出|AB|，然后利用三角形的面積公式可求出p的值，即可求出拋物線的方程；

（2）設(shè)直線l的方程為x＝my﹣1，設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），將直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，由得出y1＝2y2，并將此關(guān)系式代入韋達(dá)定理，可求出m的值，即可得出直線l的方程．

（1）易知直線AB的方程為，將該直線方程代入拋物線C的方程得，∴、，且|AB|＝2p，

∴△AOB的面積為，∵p＞0，解得p＝2．

因此，拋物線C的方程為y2＝4x；

（2）設(shè)直線MN的方程為，設(shè)點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），y2﹣4my+4＝0

△＝16m2﹣16＞0，解得m＜﹣1或m＞1．

，，∵，∴y1＝2y2，

由韋達(dá)定理得y1+y2＝3y2＝4m，則，

，得，

因此，直線l的方程為，即或．