Question

10．已知橢圓的焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l：y=-2，任取橢圓上一點P（異于短軸端點M，N）直線MP，NP分別交直線l于點T，S，則|ST|的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用橢圓離心率的意義和a、b、c的關(guān)系即可求出橢圓的方程；先設(shè)出點T、S的坐標(biāo)，可寫出直線MT、NS的方程，聯(lián)立即可得出點P的坐標(biāo)，再代入橢圓方程即可得出s、t的關(guān)系，進(jìn)而求出|ST|最小值．

解答 解：根據(jù)題意，得b=1，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b²=1，a²=4，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
設(shè)點S（s，-2），T（t，-2）不妨設(shè)t＞0，s＜0．
則直線SN的方程為：$y=-\frac{1}{s}x-1$；直線TM的方程為：$y=-\frac{3}{t}+1$．
聯(lián)立直線SN、TM方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{s}x-1}\\{y=-\frac{3}{t}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2ts}{3s-t}}\\{y=-\frac{3s+t}{3s-t}}\end{array}\right.$，即點P（$\frac{2ts}{3s-t}$，-$\frac{3s+t}{3s-t}$）．
代入橢圓的方程得$\frac{{t}^{2}{s}^{2}}{（3s-t）^{2}}$+$\frac{（3s+t）^{2}}{（3s-t）^{2}}$=1，化為st=-12．
∴|ST|=t-s=t+$\frac{12}{t}$≥2$\sqrt{t×\frac{12}{t}}$=4$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=2$\sqrt{3}$時取等號，
即|ST|的最小值為$4\sqrt{3}$，
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)、直線相交問題的解法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．