精英家教網(wǎng)如圖,點(diǎn)F是橢圓W:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn),A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),橢圓的離心率為
1
2
,三角形ABF的面積為
3
3
2

(Ⅰ)求橢圓W的方程;
(Ⅱ)對于x軸上的點(diǎn)P(t,0),橢圓W上存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥AQ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)M、N (M、N異于橢圓的左右頂點(diǎn)),若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點(diǎn)A,求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(Ⅰ)利用橢圓的離心率為
1
2
,三角形ABF的面積為
3
3
2
,可求幾何量,從而可求橢圓W的方程;
(Ⅱ)利用向量的數(shù)量積公式,化簡可得t的函數(shù)關(guān)系式,從而可得實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點(diǎn)A,結(jié)合向量知識、韋達(dá)定理求出k,m的關(guān)系,即可得到結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:由e=
c
a
=
1
2
,即a=2c,得b=
a2-c2
=
3
c

S△ABF=
1
2
(a+c)•b=
3
3
2
c2=
3
3
2
,解得c2=1,∴a2=4c2=4,b2=a2-c2=3,
∴橢圓W的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
;…(3分)
(Ⅱ)解:A(2,0),P(t,0),設(shè)Q(x,y),則
x2
4
+
y2
3
=1
,
PQ
=(x-t,y)
,
AQ
=(x-2,y)
,
PQ
AQ
,∴(x-t)(x-2)+y2=0,∴(x-t)(x-2)+3(1-
x2
4
)=0
,…(5分)
∵-2<x<2,∴x-t-
3(2+x)
4
=0
,即t=
x-6
4
∈(-2,-1)
;…(7分)
(Ⅲ)證明:聯(lián)立
y=kx+m
3x2+4y2=12
消y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<3+4k2,x1+x2=-
8km
3+4k2
x1x2=
4m2-12
3+4k2
,…(9分)
AM
=(x1-2,y1),
AN
=(x2-2,y2)
,
若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點(diǎn)A,則
AM
AN
=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
,
即(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m)=0,…(11分)
展開整理得:x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
4m2-12
3+4k2
-2(-
8km
3+4k2
)+4+k2(
4m2-12
3+4k2
)+km(-
8km
3+4k2
)+m2=0

通分化簡得
7m2+16km+4k2
3+4k2
=0
,即7m2+16km+4k2=0,
分解得(7m+2k)(m+2k)=0,得7m+2k=0或m+2k=0,即m=-
2k
7
或m=-2k,
當(dāng)m=-
2k
7
時(shí),直線y=kx+m=k(x-
2
7
)
,即直線過定點(diǎn)(
2
7
,0)

當(dāng)m=-2k時(shí),直線y=kx+m=k(x-2),即直線過定點(diǎn)(2,0),但與右頂點(diǎn)A重合,舍去,
綜合知:直線l過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(
2
7
,0)
.…(14分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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