Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，若當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）取得極大值，x∈（1，2]時(shí)，f（x）取得極小值，則

a-1

b-2

的取值范圍是

（1，4]

．

Answer 1

分析：據(jù)極大值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為正右邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)，極小值點(diǎn)左邊導(dǎo)數(shù)為負(fù)右邊導(dǎo)數(shù)為正得a，b的約束條件，據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃求出最值．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

a x2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2]內(nèi)取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]內(nèi)各有一個(gè)根
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤ a+b+2≥0

0，在aOb坐標(biāo)系中畫(huà)出其表示的區(qū)域，如圖，

b-2

a-1

表示點(diǎn)A（1，2）與可行域內(nèi)的點(diǎn)B連線(xiàn)的斜率，
當(dāng)B（x，y）=M（-1，0）時(shí)，

b-2

a-1

最大，最大為1；
當(dāng)B（x，y）=N（-3，1）時(shí)，

b-2

a-1

最小，最小為

1

4

；
所以

b-2

a-1

∈[

1

4

，1）⇒

a-1

b-2

∈（1，4]．
故答案為（1，4]．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃的能力．