Question

設(shè)集合A⊆R，如果實(shí)數(shù)x₀滿足：對(duì)?r＞0，總?x∈A，使得0＜|x-x₀|＜r，則稱x₀為集合A的聚點(diǎn)．給定下列四個(gè)集合：
①Z；　
②{x∈R|x≠0}；　
③{|n∈Z，n≥0}；　
④{|n∈Z，n≠0}．
上述四個(gè)集合中，以0為聚點(diǎn)的集合是

1. A.
   ①③
2. B.
   ②③
3. C.
   ①④
4. D.
   ②④

Answer 1

D
分析：由已知中關(guān)于集合聚點(diǎn)的定義，我們逐一分析四個(gè)集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，進(jìn)而得到答案．
解答：①中，對(duì)于某個(gè)a＜1，比如a=0.5，此時(shí)對(duì)任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數(shù)集Z的聚點(diǎn)
②集合{x|x∈R，x≠0}，對(duì)任意的a，都存在x=（實(shí)際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點(diǎn)
③集合{|n∈Z，n≥0}中的元素是極限為1的數(shù)列，
除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大，
∴在a＜的時(shí)候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{|n∈Z，n≥0}的聚點(diǎn)
④集合{|n∈Z，n≠0}中的元素是極限為0的數(shù)列，
對(duì)于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a
∴0是集合{|n∈Z，n≠0}的聚點(diǎn)
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點(diǎn)的含義，是解答本題的關(guān)鍵．