（14分）如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.

（1）求的長；

（2）求cos< >的值；

（3）求證：A1B⊥C1M.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）見解析。

【解析】

試題分析：如圖，建立空間直角坐標系O—xyz.

（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）

∴| |=.

（2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=

∴cos<，>=.

（3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.

考點：本題主要考查向量的坐標運算、數(shù)量積、模的概念及計算、夾角公式的應用，考查了考生的空間想象能力、邏輯推理能力。

點評：本題通過距離空間直角坐標系，將幾何問題轉化成空間向量，運用空間向量的基本知識，是“用數(shù)學”的好題.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為a，D是側棱CC1的中點．
（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點，若記
AB
=
a
，
AC
=
b
，
AA
=
c
，則
DE
=
1
2
a
+
1
2
b
1
2
a
+
1
2
b
（用
a
，
b
，
c
表示）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC-A'B'C'中，∠BCA=90°，CA=CB=1，AA'=2，M，N分別是A'B'、A'A的中點．
（1）求證：A'B⊥C'M；
（2）求異面直線BA'與CB'所成交的大��；
（3）（理）求BN與平面CNB'所稱的角的大小；
（4）（理）求二面角A-BN-C的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA1=,點D是AB的中點.

（1）求證：CD⊥平面ABB1A1；

（2）求二面角A-A1B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱錐B1—A1BC的體積；

（4）求BC1與平面A1BC所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點,且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1與BC1所成的角;

(3)求點A到平面BC1D的距離.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案