Question

對(duì)數(shù)列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．規(guī)定{△²a_n}為{a_n}的二階差分?jǐn)?shù)列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n．
（Ⅰ）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，試判斷{△a_n}，{△²a_n}是否為等差或等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁=1，且滿(mǎn)足，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（Ⅰ），
∵△a_n+1-△a_n=2，且△a₁=4，（2分）
∴{△a_n}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列． （3分）
∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴由定義知，{△²a_n}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列． （6分）
（Ⅱ），即，即，
又△a_n=a_n+1-a_n，∴．（9分）
∵a₁=1，∴，，，
猜想．（10分）
證明：�。┊�(dāng)n=1時(shí)，；
ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，則．
當(dāng)n=k+1時(shí)，．結(jié)論也成立．
∴由�。�、ⅱ）可知，．（12分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合新定義，可判定{△a_n}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，{△²a_n}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列，也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列；
（Ⅱ）先猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證題時(shí)要利用到歸納假設(shè)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)新定義的理解，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)，先猜后證是關(guān)鍵．